Wheeled Robot Kinematics

Wheeled robot kinematics（轮式机器人运动学）描述 wheel speeds、steering angles 和 chassis velocity 之间的几何关系。Modern Robotics Chapter 13 把这个问题作为入门主线：先忽略 dynamics，假设 hard flat ground 上 rolling without skidding。Campion et al. 则给出更一般的 structural view：不同 wheel constraints 通过矩阵 rank 和 nullspace 决定 robot mobility。

数学结构

底盘在平面中的 configuration 写成：

$$q=(\varphi ,x,y)$$

其中 $\varphi$ 是 chassis heading，$x,y$ 是底盘参考点在 world frame 中的位置。底盘速度既可以写成 $\dot{q}=(\dot{\varphi },\dot{x},\dot{y})$，也可以写成 chassis frame 中的 body twist：

$$V_b=\left[\begin{array}{c}{\omega }_{bz}\\ v_{bx}\\ v_{by}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{\varphi }\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]$$

对第 $i$ 个轮子，若其接触点在 body frame 中为 $(x_i,y_i)$，则接触点的平面速度为：

$$v_i=\left[\begin{array}{c}{v}_{bx}-{\omega }_{bz}{y}_i\\ v_{by}+{\omega }_{bz}{x}_i\end{array}\right]$$

普通 conventional wheel 可以近似成一个 rolling direction $t_i$ 与 lateral direction $n_i$：

$$t_i^T{v}_i=r_i{\dot{\theta }}_i,n_i^T{v}_i=0$$

其中 $r_i$ 是 wheel radius，${\dot{\theta }}_i$ 是 wheel angular speed。第一条约束给出 wheel spin speed；第二条是 lateral no-slip constraint。Omniwheel 和 mecanum wheel 通过 rollers 释放某个方向的相对运动，因此只保留一个 no-slip direction，并把 wheel speed 写成 chassis twist 的线性投影。

对 properly constructed omnidirectional robot，wheel speeds 与 body twist 的关系是：

$$u=H(0)V_b$$

其中 $u\in {\mathbb{R}}^m$ 是 $m$ 个 wheel driving speeds，$H(0)\in {\mathbb{R}}^{m\times 3}$ 由 wheel positions、driving directions 和 roller/free-sliding directions 决定。若 $H(0)$ rank 为 3，底盘可以在平面内生成任意 $V_b$。

直觉

每个轮子都不是简单地“提供一个 motor”，而是在底盘 twist space 中添加 projection 或 constraint。一个 conventional fixed wheel 会禁止 lateral slip；一个 omni/mecanum wheel 会允许某个 passive direction 的 motion，但仍要求 motor direction 与 contact velocity 匹配；一个 steerable wheel 让 constraint direction 随 steering angle 改变。

因此 wheeled base 的能力不是由 motor count 单独决定，而是由 wheel geometry matrix 的 rank、nullspace、conditioning 和 actuator limits 决定。对 over-actuated bases，$u=H(0)V_b$ 可能没有 exact inverse，odometry 和 control allocation 需要 pseudo-inverse 或 constrained optimization。

flowchart LR
  A["wheel geometry<br/>position, heading, roller angle"] --> B["constraint / projection row"]
  B --> C["matrix H or C"]
  C --> D["rank and nullspace"]
  D --> E["mobility and feasible chassis twists"]
  E --> F["control allocation and odometry"]

Failure Modes

• Rank deficiency：wheel layout 看似对称，但 $H(0)$ rank 不足，无法生成全部 planar twist。
• Poor conditioning：rank 为 3 但 condition number 很差，wheel speed noise 会被放大成 odometry 或 control error。
• Saturation mismatch：pseudo-inverse 输出可行速度，但某些 wheel speed 超出 motor limit，需要统一缩放或重新优化。
• No-slip assumption failure：加速、转弯、低摩擦地面或载荷偏置会破坏 rolling without skidding。
• Contact-level mismatch：kinematic equations 不包含 normal load、Coulomb friction、compliance 和 contact solver residual；这些会进入 SimulationRealityGap。

实践含义

建模顺序应先写清楚 frame convention 和 wheel sign convention，再推导 $H(0)$ 或 constraint matrix。不要从网上直接复制 mecanum 或 omni 公式；轮序、坐标系、roller angle 和正方向一变，矩阵符号就会变。

仿真中可以分三层：kinematic controller 层验证 $u\leftrightarrow V_b$；physics joint 层加入 mass、inertia、actuator limits；contact 层再处理 friction、slip、roller geometry 和 solver settings。相关页面：OmnidirectionalWheels、NonholonomicMobileRobots、SteerableWheels、MobileRobotOdometry、WheeledMobileRobotClassification。